Identitas trigonometri sudut rangkap

 

Seperti penjelasan sebelumnya bahwa rumus sudut rangkap hanya digunakan untuk mencari besar sudut trigonometri di luar sudut istimewa.

Contohnya, diketahui bahwa sudut 60° merupakan sudut sehingga dengan mudah kita mengetahui nilainya. Lalu bagaimana cara mengetahui nilai sudut 120°? yang telah kita ketahui sebelumnya bahwa sudut 120° bukan merupakan sudut istimewa?

Maka di sinilah kegunaan rumus trigonometri sudut rangkap. Kita akan mengetahui jawaban tersebut dengan menggunakan rumus ini.

Nilai 120° diatas adalah hasil dari 2×60°. Sudut 120° memang bukan sudut istimewa, namun sudut 60° adalah sudut istimewa.

Berikut ini akan kita uraikan lebih jelas tentang rumus trigonometri sudut rangkap.

Rumus Sudut Rangkap Fungsi Sinus

Rumus sudut rangkap sinus dapat dinyatakan pada rumus sebagai berikut:

sin 2 = 2sinα cosα

Bukti :

sin2α = sin (α+α)

sin2α = sinα cosα = cosα sinα

sin2α = sinα cosα + sinα cosα

sin2α = 2sinα cosαContoh Soal Pemakaian Sudut Rangkap Sinus

Jika sinα = 3/5 dan adalah sudut lancip, tentukan nilai sin2α:

Pembahasan:

sinα = 3/5

cosα = 4/5

Sehingga,

sin 2α = 2. sinα cosα

sin 2α = 2 . 3/5 . 4/5

dosa 2α = 6/25

Rumus Sudut Rangkap Fungsi Cosinus

Ada tiga rumus yang bisa dipakai untuk menentukan suatu nilai suatu sudut rangkap kosinus. Ketiga rumus tersebut yaitu:

Cos 2α = cos2α – sin2α

cos 2α = 1 -2 sin2α

cos 2α = 2 sin2α – 1

Bukti :

Cos 2α = cos ( +α )

cos 2α = cosα cosα – sinα sinα

cos 2α = cos2α – cos2α

Sebelum membuktikan kedua rumus lainnya, perlu di ingat bahwa rumus identitas trigonometri sin2α + cos2α = 1.

Cos 2α = cos2α – sin2α

cos 2α = (1-sin2α) – sin2α

cos 2α = 1 – sin2α – sin2α

cos 2α = 1 – 2sin2α

cos 2α = cos2α – sin2α

cos 2α = cos2α – (1 – cos2α)

cos 2α = cos2α – 1 + cos2α

cocs 2α = cos2α + cos2α – 1

cos 2α = 2cos2α – 1

Contoh soal:

Jika α dan β sudut lancip, tan α = ¾ dan tan β = 1 maka nilai 5(cos (α + β) + cos (α - β) adalah ...

a. √2

b. 2√2

c. 3√2

d. 5

e. 4√2

Pembahasan:

tan α = ¾, maka sin α = 3/5 dan cos α = 4/5 (gunakan segitiga siku-siku)

tan β = 1, maka sin β = ½ √2 dan cos β = ½ √2 (gunakan segitiga siku-siku)

cos (α + β) = cos α.cos β – sin α.sin β

                  = 4/5. ½ √2 – 3/5. ½ √2

                  = 4/10√2 – 3/10√2

                  = 1/10√2

                  = √2/10

cos (α - β) = cos α.cos β + sin α.sin β

                 = 4/5. ½ √2 + 3/5. ½ √2

                 = 4/10√2 + 3/10√2

                = (7√2)/10

Sehingga nilai dari 5(cos (α + β) + cos (α - β) = 5 .( √2/10 + (7√2)/10 ) = 5((8√2)/10) = (40√2)/10 = 4√2

Jawaban: E